Medida Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estima resta área.

La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.

Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3



Notación Sumatoria

En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

Esta expresión representa una operación que incluye la suma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usado los puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie.

Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. 

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoria utilizando el símbolo sumatorio se representa,

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria.

El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.

La expresión mostrada arriba se calcula como,

  = x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn

Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Tal operación se puede denotar como,

Sumas de Riemann

SUMA DE RIEMANN

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.


 sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0<x1<x2...<xn = b.
consideramos la partición de este intervalo P=  {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}.


Entonces la suma de Riemann de f(x) es:

Donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo suele ser arbitraria.

·                     Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. 

·                     Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Ejemplo.

Hallar el area de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la busqueda del límite de la suma de Riemann.

Se divide [-1, 2]:

La enésima suma de Riemann es: 

El área de la suma de Riemann: 

El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernhard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemannpor la izquierda, suma de Riemann de punto medio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La técnica detrás de los cuatro métodos es la misma sólo que el método para calcular el resultado es un poco diferente. Matemáticamente, la suma de Riemann se puede definir como una función valorada real f: X  < x1< x2< x3< x4< … < xn-1< xn < q. Ahora la suma de Riemann será,

Donde xi tiene el mayor valor y xi-1 tiene el valor más pequeño. yies un valor arbitrario en él su intervalo ith. El tamaño de la malla de partición es el mayor valor de(xi - xi-1). Para calcular la suma de Riemannpor la izquierda, sea valor de xi-1igual al valor de y. Para calcularla suma de Riemann por la derecha, sea el valor de x igual al valor de y. Si el valor de y se mantiene igual al valor promedio de xi y xi-1, entonces tenemos la suma de Riemann de punto medio como resultado. Finalmente la suma trapezoidal es el valor promedio de la suma de Riemann por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha.

Definición de Integral Definida

La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Una integral definida se representa más comúnmente como,

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

La interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx

Propiedades de la integral de finida

Estas propiedades se derivan de la definición básica misma de las integrales definidas través de largos procedimientos con el fin de hacer más fácil la solución de problemas.

Algunas de las propiedades básicas de las integrales definidas se discuten a continuación.

1 La integración de una función para un solo punto, esto es, que tanto el límite superior como el límite inferior son el número mismo, producirá cero como resultado.

2 La integración de una función para algunos límites es el inverso de la integración de la misma función cuando los límites de integración son intercambiados.

3 La integración de una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de esa constante con la diferencia de los límites de integración.

4 La integración de la multiplicación de una función con una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de la constante con la integración de la función para los límites de integración.

5 La integración de una función para algunos límites de integración se puede desglosar como la suma de la integración de la misma función donde el límite superior de la integración de la expresión anterior y el límite inferior de la integración de la expresión siguiente es el mismo, el cual es un valor intermedio de los límites de integración.

6 La integración de la suma de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la suma de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración.

7 La integración de la diferencia de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la diferencia de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración.

8 Si una determinada función produce un valor menor que cero para un intervalo dado, y entonces ocurre lo mismo cuando es integrado para el mismo intervalo como límite de integración, producirá un valor menor que cero.

Función  Primitiva

Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevo la función original f(x).

Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x).

Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintos de c sin ningún pre-requisito para obtener a c.

Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.

Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.

Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, anti derivada, etc.

Teorema Fundamental del Cálculo

La diferenciación y la integración son dos conceptos vitales del cálculo. Es esencial relacionarlos de alguna forma para formular algunos conceptos esenciales del cálculo. Por tanto, el Teorema Fundamental del Cálculo fue elaborado tomando esto en consideración.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo: La integración definida también puede ser considerada como un caso especial de la suma de Riemann en el que se calcula el límite de la suma de Riemann. La integración definida de una función dada es el proceso del cálculo del área limitada de algún gráfico o curva donde los límites superior e inferior especifican los límites de integración. Sin embargo, mirando la definición anterior de integral definida algunos pueden confundirse en por qué se procede de esta manera. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo justifica este procedimiento.

Matemáticamente, para alguna función real f(x), la cual, para un intervalo cerrado [a, b], es de naturaleza continua, tenemos un integrando F(x), que también es una función valorada real en el mismo intervalo cerrado [ a, b]. Esto puede ser representado como:

Cálculo de Integrales Definidas

El cálculo de la integral definida se denomina a menudo como integración numérica o cuadratura numérica o simplemente cuadratura.

Sin embargo, este es utilizado generalmente más para una ecuación dimensional, para las ecuaciones con más de una dimensión, el uso de la palabra curvatura es más adecuado.

Se utiliza para calcular la solución numérica aproximada de una integral definida dada.

Existen varias formas para calcular la solución de un problema de integral definida.

1 Haciendo uso de las fórmulas básicas de integración.

2 Resolviendo la expresión a través del álgebra.

3 Integración por sustitución.

Es un método importante para resolver integrales. En este método tenemos una función principal y el integrando se define como la multiplicación de la función principal y la derivada de esta función principal.

Propiedades de la integral definida:

La constante de integración no se coloca en la integrales definidas porque ellas se anulan por ser la diferencia entre los límites.

Ejemplo:

 

 Ejercicios integrales definidas

Integrales Impropias

De acuerdo con la definición de integrales, tenemos una función que está limitada de ambos lados superior e inferior para algún intervalo con rango [p, q].

Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir,

1. O la función que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados.

2. O, el intervalo para el cual la función es definida en sí se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados.

En tal situación la integral que tenemos se llama integral impropia.

Una integral impropia es un tipo de integral definida donde o los límites de la integración o la función alcanzan el infinito.

Esto puede ocurrir una o varias veces para los límites de integración dados.

Hasta ahora se han estudiado integrales cuyos intervalos sean continuos y existententes, sin embargo no siempre eso ocurre, hay integrales que tiene inexistencias bien en los extremos o el un valor dentro del intervalo. Como se ve a continuación:


Caso 1 El intevalo es semi abierto o semi cerrado (a,b] o[a.b)
Ejemplo:

Caso2  El intervalo es abierto. (a,b), para lo que se requiere de un valor c que pertenece a (a,b) para el cual si hay existencia de la función.
(a,b)    a < c < b  y   fc existe

Caso3  El intervalo es cerrado [a,b], pero dentro del intervalo hay un valor c que no satisface la función.
[a,b]   c pertenece y f(c) no exite.