indefinida

Integrales Indefinidas con Cambio de Variable

La integración mediante el cambio de variable o por sustitución se encuentra entre uno de los métodos de integración más poderosos.

Es conocido por todos que la integración es el proceso contrario de la diferenciación, en esta perspectiva la integración con cambio de variable es el proceso contrario de la diferenciación llevada a cabo a través de regla de la cadena.

La integración a través de la sustitución se realiza cuando el integrando dado es de la forma,

Es decir se nos provee una función primaria y el integrando es el producto de la derivada de esta función primaria y función de esta función primaria.

Sin embargo, no siempre es el caso que el integrandoseadado directamente en la forma que podamos aplicar directamente la regla de la sustitución, hay situaciones en las que primero tenemos que modificar el integrando dado de tal manera que podamos aplicar la fórmula de sustitución.

Los pasos para realizar el método de sustitución para las integrales indefinidas son los siguientes.

1 Identificar la función primaria g(x).

En caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una serie de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros métodos para convertirloen la forma deseada.

2 Sustituya la función primaria g(x) por alguna variable, digamos a,

3 Esta diferenciación produciría

4 Sustituya estos valores en la expresión real para modificar el integrando como,

5 En caso de que la variable original todavía exista en el integrando, entonces sencillamenteusamos la definición de a desde el paso inicial para la variable real en términos de la nueva variable.

6 Finalmente integre este integrando.

7 Después de obtener la antiderivada de este integrando, sustituya la variable original en la antiderivada obtenida.

Puede parecer que los pasos para la realización de este método son los mismos tanto para la integración indefinida como para la definida, pero existe fina diferencia entre los dos que es esencialentender.

Primeramente en el caso de una integración definida una cosa importante a tener en cuenta es cambiar el límite superior, así como el límite inferior de integración.

Esto se hace porque se han sustituido las variables del integrando y por lo tanto los límites de integración tienen que ser redefinidos en consecuencia de los nuevos límites de integración.

En segundo lugar, en el caso de la integración indefinida, tenemos que volver a colocarde nuevola variable originalpara el integrando de manera que la solución final sea en términos de la variable real.

Mientras que para la integración definidaponemos al final los valores del límite superior e inferior en la expresión para obtener la respuesta numérica.

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo para aclarar los conceptos.

        18×5 (x3 – 5)4 dx

Sea a = (x3 – 5)4

da = 3×2 dx

dx = da/3×2

  18×5 (x3 – 5)4 da/ 3×2

  6×2 (x3 – 5)4 da

 6×2 a4 da

6(a +5) a4 da

(6a5 + 30 a4) da

a6 + 6a5 + c

(a + 6) a5 + c

(x3 – 5 + 1) (x3 – 5)5 + c

(x3 + 1) (x3 – 5)5 + c

En el ejemplo anterior fueron empleadas varias transformaciones para obtener la forma deseada del integrando.

Integrales por sustitución trignmetrica

Integrales Indefinidas Trigonométricas

Al igual que las funciones logarítmicas y exponenciales, las funciones trigonométricas también pueden ser integradas.

Existe un conjunto separado de fórmulas disponibles para todas las funciones trigonométricas así como para las funciones trigonométricas inversas.

Estas fórmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.

Aparte de eso las identidades trigonométricas son también fundamentales para llevar a cabo la solución de problemas, especialmente durante el uso de métodos como la sustitución.

Las integrales de las funciones trigonométricas se enumeran a continuación.

Con excepción de las últimas cuatro fórmulas, el resto se obtiene directamente usando los resultados de sus respectivas derivadas. Las últimos cuatro fórmulas son obtenidas utilizando las identidades trigonométricas y la integración a través de la sustitución.

Mientrascalculamos un determinado integrando trigonométrico es esencial el seguimiento de una estrategia como se describe a continuación.

1 Si la función seno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función seno separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función coseno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualarel coseno a la nueva variable.

2 Si la función coseno es elevada a un exponente impar, a continuación, mantenga la función coseno separada y use la identidadsin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la función seno y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar el seno a la nueva variable.

3 En el caso que tanto la función seno como la función coseno se eleven a un exponente par entonces las identidades del ángulo medio pueden ser aplicadas para conseguir el integrando completo dentro de los términos de la función coseno.

 

4 Otras identidades, tales como,

también pueden ser utilizadas en los lugares requeridos.

5 Si la función secante es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función secante separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función tangente y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la tangente a la nueva variable.

6 Si la función tangente es elevada a un exponente par, a continuación, mantenga la función sec(x) tan(x) separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la función secante y por lo tanto, utilice el método de integración a través de la sustitución al igualar la secante a la nueva variable.

Sea un integrando de la forma,

  sin5(x) dx

Al mirar este integrando la mayoría de las personas tratarían de sustituir sin(x) = a, lo cual produciría cos(x) dx = da. Pero esto es una interpretación errónea. En general, para integrar una función seno una función coseno es necesaria y para integrar una función coseno una función seno.

Por lo tanto, para el ejemplo anterior mantenga la función seno a un lado y transforme el integrando de la función coseno con la ayuda de la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 como se describe a continuación.

sin5(x) dx = sin(x) (sin2(x))2

sin(x) (1 - cos2(x))2

Ahora la integración a través del método de sustitución puedeser aplicada al mantenercos(x) = a

Esto produce –sin(x) dx = da

  -(1 – a2) da

  (-a4 + 2a2 – 1)da

        -a5/ 5 + 2a3/ 3 - a + c

        cos5(x)/ 5 + 2cos3(x)/ 3 – cos(x) + c

Integración Indefinida por Fracciones Parciales

Un polinomio general, que está en términos defracciones, puede ser dividido en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son reunidos de nuevo formarían el polinomio original nuevamente. Este es el concepto detrás del método de integración por fracciones parciales. Por lo general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones racionales son evaluados a través de este método rompiendo el integrando a través de sucesivas adiciones y restas a la inversa.

A las expresiones de descomposición fraccional de la expresión real se les conoce como sus fracciones parciales. Este método también es utilizado de forma muy importante en las transformaciones de Laplace. También transforma los integrandos en formas mucho más simples lo cual hace que la evaluación sea realizada con mucha facilidad.

Después de la descomposición, todas las fracciones parciales poseen una expresión polinómica de primer grado o de segundo grado en su denominador.

En el caso de una expresión racional compleja, el denominador poseeúnicamente expresiones polinómicas de primer grado.

Sin embargo, este método sólo es aplicable si podemos descomponer el denominador del integrando real.

Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este método, estas son:

1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, asegúrese que el denominador del integrando es de al menos un grado más alto que el numerador.

2 Existe una fracción parcial para todos los factores de descomposición del denominador de la expresión real, existe una fracción parcial como,

Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.

3 Ampliando la regla anterior, si para algún integrando el denominador produce un factor lineal equivalente para m número de veces, y entonces tenemos m fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado desde uno hasta m.

4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuación cuadrática, entonces la fracción parcial será de la forma,

En resumen, las reglas para la integración de una expresión racional utilizando el método de fracciones parciales son las siguientes:

Aquí A, B ó C en las expresiones anteriores son términos constantes cuyos valores se obtienen a través de la solución de problemas y entonces se colocan en la expresión de integración. Para la existencia de estos términos constantes para cualquier expresión racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser únicamente expresiones polinómicas.

2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparación con el de grado de su denominador.

Este método podría parecer un poco confuso para usted y por tanto, un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda para usted.

El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x - 3). Entonces el integrando se convierteahoraa,

2x + 3/ (x + 3) (x – 3)

Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x + 3) + (B/ x – 3)].

Lo que resulta en A(x – 3) + B(x + 3) = 2x + 3.

Resolviendo la expresión anterior al reemplazar los valores de x por+3 y −3 obtenemos los valores de A y B como ½ y 3/2, respectivamente.

El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x – 3)].

½ ln |x + 3| + 2/3 ln |x – 3|.

Integración Indefinida por Partes  de la forma u por dv

La mayoría de las veces la gente intenta usar las fórmulas de integración de la suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce resultados erróneos dado que esta no es la técnica correcta. Como ejemplo,

Un error común cometido por las personas que observan una expresión de este tipo sería,

El cual es sin embargo un enfoque equivocado.

Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.

En tal escenario la integración de 1 produciría x lo cual no es correcto.

Para resolver una ecuación de este tipo, se utiliza la técnica de la integración por partes.

Como es conocido la integración es la técnica inversa de la diferenciación; la integración por partes es la técnica inversa de la regla del producto de la diferenciación.

La fórmula general para la integración por partes,

Esta fórmulapodría confundirlo. Así que para entender el concepto detrás de la formulación de esta fórmula observe la regla del producto de la diferenciación escrita a continuación,

De la expresión anterior se puede deducir que,

Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad, entonces podría ser utilizada para deducir la otra también, lo cual constituye la base para la formulación de la técnica de integración por partes.

La Integración por partes se desarrolla de la siguiente manera,

1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda función primaria, seaestag(x) no es real asumirla como una.

2 Ahora las funciones secundarias se colocarán en el lugar de las primarias como se describe a continuación,

 y 

3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra función. Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.

4 Ahora aplique la fórmula de integración por partes como,

Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda.

  ln(x) dx

Dado que sólo una de las funciones primarias está ahí se puede asumir que la segunda es 1.

Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.

Luego diferenciando la primera función e integrando la segunda obtenemos,

du = 1 / x dx

v = x

 Colocando los valores anteriores en la expresión real tenemos que,
  ln(x) dx = x * ln(x) -  x * 1 / x dx
   x * 1 / x dx = dx
  x + c
  Por tanto la solución final es x * ln (x) - x + c

En la práctica, los integrandos que sondifíciles para ser integrados directamente se transforman de forma que el método de integración por partes se pueda aplicar para hacerlos más fácil de integrar.

Sin embargo, es muy importante una elección correcta de la función a ser integrada y diferenciad asi no se efectúa de esta forma es posible que el integrando se vuelva aún más críptico que antes.

Otra razón para que la integración por partes falle sería que algunas de las transformaciones de los integrandos causenque el integrando original aparezca de nuevo.