calculo integral

AREAS BAJA CON LA CURVA CON UNA FUNCIÓN

1. cuando la función es positiva Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.

La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875–1941).

La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero… ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de “área bajo la curva” tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.

AREAS BAJO LA CURVA CON 2 FUNCIONES.

Son areas limitadas entre dos funciones denominadas f(x) y g(x).

Ejemplos

1. Calcular el área limitada por la curva y = x² − 5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

2.Calcular el área limitada por la parábola y² = 4x y la recta y = x.

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

LONGITUD DE ARCO.

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Un arco de circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Se suele vincular a cada cuerda el menor arco que delimita.

Un arco de circunferencia se denota con el símbolo arco

sobre las letras de los puntos extremos del arco.

Las letras se escriben en sentido antihorario, es decir, en contra de las agujas del reloj.

La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:

Ejemplo

Hallar la longitud del arco de curva función

en el intervalo [0, 1].

CÁLCULO DE VOLÚMENES.

Método del disco:
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución.

Metodo de la arandela:

Este metodo consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una region R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra:

Si la region que giramos para formar un solido no toca o cruza el eje de rotacion,el solido generado tendraun hueco o agujero.Las secciones transversales que tambien son perpendiculares al eje de rotacion son arandelas en lugar de discos.

Método de los casquillos:

Este método es también llamado método de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la fórmula para el volumen del cilindro diferencial.

CÁLCULO DE CENTROIDES.

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.

Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.

Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.

Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.

El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.

Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura.

Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediantecalcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.

Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.

Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.

Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total

        Área total

Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada a

Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión.

Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.

Aplicando la fórmula,

. Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3

 x (x3 - 0) dx 
  (x3 - 0) dx

= x4 dx

 x3 dx

= [x5 / 5]02

    [x4 / 4]02

= 32 / 5

   16 / 4

= 1.6

Del mismo modo, buscando la coordenada y

Aplicando la fórmula,

Aquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos

 =  y (2 – y1/3)dy
 (2 – y1/3) dy

= (2y – y4/3 ) dy

  (2 – y1/3) dy

= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08

= 16 – 3/7(32)

= 2.29

Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)

Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objeto bidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado.