Definición de serie.

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como la imagen que se muestra en el costado izquierdo  donde n es el índice final de la serie.   En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie. 

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación:

El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.

Termino de una sucesión: S: N-àR

Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera,  para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Series finitas.

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

 Considere el siguiente ejemplo de series finitas.

 Serie infinita

Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de límite en el que se consideran sucesiones.

Suponga que asociada a la sucesión

U1, U2, U3,…, Un,…

Se tiene una “suma infinita” denotada por

U1+ U2 + U3 +…+ Un+…

Serie de potencia.

Es un tipo de serie de términos variables, las cuales pueden considerarse como una generalización de una función polinomial. Están elevadas a una potencia diferente a 1. Vea el siguiente ejemplo.

Serie de Taylor.

En una serie de Taylor de una función f (x) infinitamente derivable (no tiene límite de derivación) real o compleja definida en un intervalo abierto (a-r, a+r). Se define como como la función que aparece en el ejemplo.

Cálculo de series por integrales.

Para el calculo de este tipo de series, se considera la primera parte de la función como una notación sumatoria, para la segunda parte es integrada toda la función. 

Esa función integrada es evaluada con el teorema fundamental del calculo pero como limite inferior 1, y como limite superior t.

Considere el ejemplo siguiente:

Función o series  de Bessel.

Las funciones de Bessel forman una clase de función de las denominadas funciones especiales que se encuentran en la solución de determinados problemas físicos. Dan la solución a una ecuación diferencial muy importante, la ecuación de Bessel se encuentra en el ejemplo de la imagen.

Las soluciones para esta ecuación están en la forma de series infinitas, que se llaman funciones de Bessel de primera especie. La expresión para la suma está expresada como formula en la imagen.